Меню

Системы имитационного моделирования выбираем подходящую

Системы имитационного моделирования: выбираем подходящую

Современные химико-технологические процессы столь сложны, что для их изменения приходится использовать не только аналитику, но и результаты имитационного моделирования. В данном случае необходимо работать с моделью физического объекта и именно на модели исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях. Для этого существует много программных комплексов. Чтобы понять специфику такого программного обеспечения я собрал аналитическую информацию о системах, наиболее распространённых в мире и популярных по запросам в интернет-поисковиках. Результаты исследования – в этом обзоре. Он будет полезен проектировщикам, технологам и автоматчикам – всем тем, кто анализирует технологические процессы, строит системы управления ими, выполняет инженерные расчеты технологических аппаратов.

Эксперимент vs имитация

Работа с имитационной моделью помогает, во-первых, более полно изучить объекты, чем во время реального эксперимента (на практике мы в принципе не сможем создать все ситуации, чтобы исследовать свойства и поведение объекта).

А во-вторых, имитационное моделирование даёт возможность более эффективно выполнить исследование, проектирование и оптимизацию технологического процесса: поскольку работа с моделью учитывает влияние множества различных параметров на химико-технологический процесс (ХТП), технолог сможет найти те качественные и количественные характеристики, которые сэкономят время и деньги на изменение ХТП, а также снизят вероятность ошибок.

Например, в топливной промышленности программные продукты для имитационного моделирования используют для переработки тяжелой сернистой нефти, нефтеподготовки. Применение в фармацевтической промышленности предназначено для моделирования реакционных и периодических дистилляций углеводородов.

Ведущие системы для моделирования ХТП

В рамках построения системы автоматического управления теплоснабжением предприятия (одного из его сложных процессов) специалистам нашей компании “Первый инженер” потребовалось исследовать технологический процесс: проанализировать переходные процессы и выявить критические технологические участки, а также проанализировать возможности применения программного продукта в системе управления (для выработки оптимальных режимов работы системы теплоснабжения в автоматическом режиме). Так мне и пришлось изучать рынок в поиске готового программного инструмента. Результатами анализа ПО делюсь с вами. Ниже будет много таблиц.

При подготовке статьи для Хабра я пытался связаться со всеми производителями указанного ПО и уточнить данные, ведь за прошедшее время они могли усовершенствовать свои продукты. Но ответ пришел только от GIBBS. Поэтому буду рад вашим уточнениям в комментариях.

Краткие описания решений

Программное обеспечение Hysys предназначено для моделирования ХТП для оптимизации проектирования схемотехнических решений технологического процесса. Помимо статического моделирования технологических схем программа позволяет в той же среде производить динамическое моделирование отдельных процессов и всей технологической цепочки, а также разрабатывать и отлаживать схемы регулирования процессов. Есть возможность выполнять расчеты основных конструктивных характеристик оборудования.

В 2002 году компанию Hyprotech Ltd приобрела Aspen Technologies. Hysys вошел состав пакета инженерного модуля AspenONE Engineering пакета AspenONE под наименованием Aspen Hysys.

Программный пакет Aspen Plus (разработка Aspen Technologies) предназначен для моделирования в стационарном режиме, проектирования химико-технологических производств, контроля производительности оборудования, оптимизации и бизнес-планирования в области добычи и переработки углеводородов и нефтехимии.

gPROMS ModelBuilder является средой моделирования для стационарных и динамических систем, которая ориентирована на применение в перерабатывающей промышленности.

Программный комплекс CHEMCAD ориентирован на моделирование ХТП. Пакет включает средства статического моделирования основных процессов, основанных на фазовых и химических превращениях, а также средства для расчета геометрических размеров и конструктивных характеристик основных аппаратов.

Design II – программный продукт компании WinSim Inc. – имеет все инструменты для полноценного моделирования в газонефтепереработке и включает набор из 880 различных компонентов.

Программное обеспечение для моделирования технологических процессов PRO/II – это симулятор стационарного режима, улучшающий процессы проектирования и операционного анализа. Симулятор PRO/II разработан для точных расчетов массового и энергетического баланса для широкого спектра производственных процессов. Отрасли применения: нефтепереработка, газопереработка, нефтехимия, химия.

ProMax представляет собой мощный и универсальный пакет программного обеспечения для проектирования и оптимизации газоперерабатывающих, нефтеперерабатывающих и химических производств.

Программный продукт GIBBS обладает средствами для моделирования процессов промысловой подготовки природных газов, включая обычные установки низкотемпературной сепарации, низкотемпературные детандерные установки с частичным или полным фракционированием жидких углеводородов, процессы выделения этана и СУГ, процессы обработки газа с впрыском, сбором и регенерацией ингибиторов гидратообразования, промысловой и заводской подготовки и переработки газоконденсата и нефти, в том числе деэтанизацию, стабилизацию и фракционирование по топливному варианту, газофракционирование, установки сжижения природного газа, выделения и очистки гелия.

Система моделирования “Комфорт” – это инструмент для поверочных и проектных расчетов материально-тепловых балансов различных химических производств. “Комфорт” состоит из управляющей программы и модулей расчета аппаратов. Управляющая программа с конкретным набором технологических модулей образует предметно-ориентированную моделирующую программу, позволяющую выполнять расчеты для конкретного класса химико-технологических схем. Программа имеет средства для расчета всех основных процессов фракционирования для газопереработки.

* Программные комплексы в таблице имеют различные формы лицензирования: локальные, сетевые и бесплатные. Локальная лицензия предусматривает установку программы на конкретный компьютер, авторизуется и работает только на нем. Сетевая лицензия предназначена на установку продукта на несколько компьютеров, но при этом количество одновременных пользователей не должно превышать количество купленных лицензий. Бесплатная лицензия распространяется для «ознакомления» с возможностями ПО, которые имеют временные или функциональные ограничения.

Системные требования

Каждый из представленных программных продуктов предполагает минимальные системные требования для его полноценной работы – наличие ОС Microsoft и лицензии.

Характеристики программных комплексов

На российском и зарубежном рынке немало средств имитационного моделирования ХТП с различным функционалом и назначением. Для оценки потенциала программного продукта было выделено несколько ключевых характеристик. Сразу стали очевидны ограничения возможностей ПО: небольшой функционал интерактивных отладчиков, небольшое количество типовых моделей, отсутствие структурного моделирования, большая погрешность при расчетах и другие.

Эти ограничения требуют от пользователя ПО специальных знаний в области математического описания процессов и в программировании.

Невозможность моделирования в реальном времени и невозможность оптимизации ПО с учетом различных факторов – это серьезный сдерживающий момент для применения его в системах автоматического управления сложными и быстро протекающими процессами.

Малоперспективны те программные продукты, которые не дают точную и оперативную информацию, что особенно важно в условиях жесткой конкуренции по цене/качеству/количеству, энергозатратам и эффективности работы производственного оборудования.

Модули в составе программного комплекса

В состав программных продуктов входят готовые модули, описывающие технологические аппараты, физико-химические свойства компонентов, позволяющие упростить построение технических решений технологического процесса для их расчетов.

Если число модулей ограничено, ПО не позволит моделировать сложные технические решения, поскольку это требует постоянного совершенствования программ.

Интерфейс программных комплексов

Ключевая особенность любого программного обеспечения – удобный графический интерфейс, который уменьшает трудозатраты на выполнение определенных функций и предоставляет результат в интуитивно понятном для пользователя виде. Наличие в программе таких возможностей, как графическое построение, интерактивный отладчик, документирование, позволяет сократить время на разработку схем.

Проведенный анализ позволил выявить лидеров в рамках поставленной задачи: в этих продуктах совмещены функции моделирования технологического процесса и оптимизация протекания процессов в режиме реального времени.

Поставленная задача пока решена не полностью. Программный продукт позволил найти некоторые оптимальные условия для текущих процессов и определить основные критические участки в технологическом процессе. Чтобы более глубоко исследовать протекание технологических процессов в системе теплоснабжения, нужно разработать математическое описание процессов в отдельных участках технологического решения, а также найти возможность для интеграции программного продукта в систему автоматического управления.

Какое бы решение вы ни выбрали, исходя из своих задач и возможностей, в заключение отмечу: любое ПО призвано минимизировать финансовые и временные затраты на построение ХТП, но ни один программный инструмент не даст гарантированных результатов без специалистов, обладающих знаниями в области технологии, математики, физики и химии.

Источник

Экономико-математические модели оптимальной загрузки производственных мощностей

2 Экономико-математические модели оптимальной загрузки производственных мощностей

Модели оптимальной загрузки производственного оборудования относятся к линейно программным моделям, которые могут быть успешно использованы для текущего планирования. На основе этих моделей отыскивается оптимальный вариант формирования или распределения производственной программы по группам оборудования, позволяющий улучшить технико-экономические показатели работы завода, цеха, участка, повысить коэффициент загрузки оборудования, выявить излишние производственные фонды и т. п.

Пусть j — индекс (номер) вида производимой продукции или осуществляемых деталеопераций. При продуктовой классификации это могут быть виды деталей, узлов, а также готовых изделий. В общем случае – j=1, . ,n , где n — общее число производимых видов продукции.

Коэффициенты затрат времени обработки детали j-го вида на оборудовании i-ой группы (для удобства можно рассчитывать затраты на обработку 10, 100 шт. и т. д.) рассчитываются па базе технологической нормы времени обработки детали рассматриваемого вида на определенной группе станков с учетом планового коэффициента выполнения прогрессивных норм по следующей формуле:

,

где fij — технологическая норма времени обработки детали вида j на оборудовании i-ой группы (в станко-час);

— плановый коэффициент выполнения норм на i-ой группе оборудования;

— коэффициент приведения норм к прогрессивному уровню.

Норму времени fij получают непосредственно из операционных и технологических карт процесса обработки деталей. При этом она рассматривается как сумма штучного времени обработки деталей на данной группе станков (определяемого типом станка, режимом его работы, наличием оснастки и приспособлений, а также количеством деталей, обрабатываемых на одном приспособлении одновременно).

В рассматриваемой линейной модели загрузки оборудования такие параметры, как размер партии деталей, очередность их обработки на различных станках, календарные графики загрузки оборудования и т. п., не оптимизируются. Они принимаются заданными для каждого из производственных способов.

Обозначим полезный фонд времени (в станко-час) по i-й группе оборудования через Аi. Ограничения по полезному фонду времени работы каждой группы оборудования зададим исходя из действительного (располагаемого) фонда времени в станко- или машино-час. В результате располагаемый фонд времени по данной технологической группе определяется, во-первых, количеством единиц оборудования по этой группе qi и, во-вторых, годовым (квартальным, месячным и т. д.) полезным фондом времени по каждой единице оборудования (станко-час), где l=1, . , qi – индекс единицы оборудования данной группы. Расчет осуществляем по формуле:

Читайте также:  Сетевое планирование при организации ремонта оборудования

Следует отметить, что по отдельным производственным участкам, где используется недорогое и недефицитное оборудование или выпускается крупногабаритная продукция (например, в формовочных отделениях литейных цехов), лимитирующими факторами могут быть производственные площади.

В принятых обозначениях имеем следующую систему ограничений модели оптимальной загрузки мощностей:

● потребность в фонде времени работы оборудования не должна превышать действительного фонда времени

(1)

здесь yi — величина резерва времени по i-й группе оборудования, этот «резерв» образуется, если имеет место недогрузка оборудования группы i;

● ограничения неотрицательности переменных

(2)

Во внутризаводском планировании наиболее часто формулируется задача на оптимум по критерию максимума загрузки мощностей:

(3)

При использовании этого критерия подбирается такая номенклатура выпуска продукции, которая обеспечивает максимальный коэффициент загрузки оборудования. Таким образом, цель, состоящая в максимизации выпуска продукции (повышения рентабельности), достигается косвенно, через максимизацию загрузки оборудования, что соответствует, в известной мере, внутрицеховому критерию наилучшего использования мощностей. Такой подход с практической точки зрения привлекает главным образом своей простотой.

Для приведения в определенное соответствие подбираемой номенклатуры выпуска продукции установленному плану может быть целесообразно формулировать в модели (1) — (3) двусторонние ограничения по производственной программе:

где E2 – множество видов продукции, по которым такие ограничения существенны.

Развитие модели (1) — (3) состоит в рассмотрении ряда производственно-технологических способов выпуска продукции, а также в использовании ценностных критериев (максимума прибыли и минимума себестоимости) и критерия максимума выпуска продукции в заданном ассортименте.

При применении моделей загрузки взаимозаменяемых групп оборудования определяется оптимальный вариант использования фонда времени работы станков, которые могут выполнять одинаковые деталеоперации, но с различной производительностью. Например, определяется максимальная загрузка парка универсальных токарных станков, оснащенных различными инструментами и приспособлениями, полуавтоматических и автоматических станков и т. п. Типовой моделью, с помощью которой решаются такие задачи, является модель распределительной или -задачи линейного программирования.

Модель загрузки взаимозаменяемых групп оборудования отличается специфической структурой формулировки производственных способов: по каждому способу деталь определенного j-го вида производится лишь на одной i-й группе оборудования, затраты станочного времени при этом составляют (станко-час/шт.). При этом в систему ограничений включаются способы производства деталей каждого вида на каждой группе оборудования.

Интенсивность применения технологии (i, j) характеризует производство деталей j-го вида на i-м оборудовании хij (шт.), а эффективность ее использования выражается показателем прибыли pij (руб./шт.) или затрат cij (руб./шт.). Если же j-я деталь не может быть произведена на i-й группе оборудования, то технология (i, j) получает «запрет» — искусственно заниженный показатель прибыли или завышенный показатель себестоимости, что гарантирует неиспользование этого способа в оптимальном плане.

Система ограничений модели оптимизации загрузки взаимозаменяемых групп оборудования содержит:

● баланс между необходимым и располагаемым фондами времени по каждой группе оборудования

(4)

(5)

● ограничения на выпуск продукции всех видов

(6)

Функция цели – максимум суммарной прибыли от производства всей продукции:

(7)

При заданной программе Вj план загрузки взаимозаменяемых групп оборудования, определяемый по критерию максимума прибыли, совпадает с решением задачи на минимум себестоимости. В этом случае система ограничений модели не изменяется, а целевая функция принимает вид:

,

где сij — себестоимость изготовления детали вида i на j-ой группе оборудования.

При решении задачи на минимум затрат станочного времени в ограничениях и критерии оптимальности будут использоваться одни и те же показатели (станко-час/шт.), т. е. целевая функция примет вид:

В модели оптимальной загрузки взаимозаменяемых групп оборудования может быть также использован ассортиментный критерий оптимальности.

Практически важным является случай, когда распределительная задача сводится к транспортной задаче линейного программирования. Транспортная задача есть частный случай — задачи при всех . Ее специфика заключается в том, что ресурсы и потребности выражаются в одних и тех же единицах, в то время как в распределительной задаче единицы измерения ресурсов (фонд времени работы оборудования в станко-час) и продукции (программа в шт.) различаются. Для сведения задачи максимизации загрузки оборудования к транспортной задаче необходимо выразить ресурсы и продукцию в стандартных станко-часах, что удастся сделать, если производительность каждой группы станков, включенных в рассмотрение, но всем деталям в одинаковое число раз отличается от производительности одного из станков, принятого за стандартный.

Источник



Проблема математического моделирования сложных единиц и комплексов технологического оборудования

Рубрика: Технические науки

Дата публикации: 17.05.2017 2017-05-17

Статья просмотрена: 203 раза

Библиографическое описание:

Туляганов, З. Я. Проблема математического моделирования сложных единиц и комплексов технологического оборудования / З. Я. Туляганов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 20 (154). — С. 76-78. — URL: https://moluch.ru/archive/154/43442/ (дата обращения: 27.06.2021).

Стабильная работа любого промышленного предприятия, его экономическая эффективность во многом зависят от надежной работы основного (технологического) оборудования. Это становится предельно понятным, если учесть, что «носителями» любых технологических, управляемых пусть даже самыми высококачественными системами автоматического и автоматизированного управления, — являются комплексы технологического оборудования. И, если по какой-либо причине произойдет остановка оборудования, то никакие наилучшие технологии или управляющие ими системы не смогут восполнить экономические издержки и потери, вызванные простоями оборудования. В свою очередь, решение данной проблемы возможно, если будут созданы методология и математические схемы, позволяющие с единых позиций охватить технологическое оборудование и другие уровни интегрированных систем на основе выделения единой для всех уровней доминирующей характеристики.

Анализ существующих публикаций позволяет выделить следующие три направления создания автоматизированных систем, в промышленных предприятиях, где, как говорится, «по штату положено» рассматривать проблемы математического моделирования сложных единиц и комплексов технологического оборудования: «традиционные» интегрированные АСУ, модификации «традиционных» интегрированных автоматизированных систем управления (ИАСУ), ERP-системы.

В зависимости от целей моделирования могут быть для одного и того же технологического оборудования построены различные математические модели. Например, для оценки надежности это будут одни модели, для оценки прочности деталей и узлов — другие и т. д. В данном случае речь идет о математических моделях, позволяющих воспроизвести динамические (с изменяющимися во времени характеристиками) структуры технологического оборудования, комплексов и технологических сетей в памяти ЭВМ для целей оценки и прогнозирования состояния узлов и деталей, а, следовательно, и оборудования в целом, с целью упреждения предаварийных ситуаций, минимизации простоев оборудования и, следовательно, увеличения эффективности предприятия.

Создаваемые математические модели должны иметь одинаковую природу со структурными математическими моделями других уровней иерархии интегрированных АСУ. Последнее является необходимым условием интеграции математических моделей различных уровней автоматизированной системы. Анализ «традиционных» и «модифицированных» интегрированных АСУ, АСУ техническим обслуживанием и ремонтами оборудования (ТОиР), ERP-систем позволяет сделать следующие выводы:

− В «традиционных» и «модифицированных» ИАСУ вопросы технического обслуживания и ремонта оборудования вообще не затрагиваются. Естественно, не рассматриваются и вопросы математического моделирования сложных единиц технологического оборудования и технологических комплексов.

− В специализированных автоматизированных системах — АСУ ТОиР вопросы математического моделирования технологического оборудования также не затрагиваются.

− В различного рода ERP-системах [2] задача математического моделирования технологических сетей и оборудования не ставится и не решается.

Таким образом, проблема математического моделирования сложных единиц технологического оборудования, технологических комплексов и сетей несмотря на всю ее актуальность остается открытой.

Как показано в работе [3] ядром интегрированных АСУ являются двухуровневые производственные модули, охватывающие системы автоматического управления с мини- и микроЭВМ в контуре управления и сложные единицы и комплексы технологического оборудования. Как видно, в контексте понятия производственных модулей помимо систем автоматического управления затрагивается еще уровень технологического оборудования, от состояния которого во многом зависят эффективность, стабильность и безопасность производства. Анализируя факторы сложности производственных модулей особо следует остановиться на уровне технологического оборудования. Технологические сети или иначе взаимосвязанные комплексы технологического оборудования гидрометаллургических, нефтехимических, топливно-энергетических, химических и других крупных предприятий относятся к категории структурно-сложных систем, содержащих целый спектр единиц оборудования, каждая из которых в свою очередь состоит из множества различных по своему функциональному назначению, конструктивному исполнению и характеристикам узлов и деталей, изготовленных из самых разных материалов.

Оптимальное функционирование отмеченных выше и других предприятий зависит от множества факторов. В контексте понятия производственных модулей помимо систем автоматического управления затрагивается еще два важнейших аспекта: технологические процессы и «носители технологических процессов» — технологическое оборудование. Ретроспективный анализ работ показывает, что наибольшее внимание в общей иерархии задач управления уделено вопросам, связанным с моделированием и оптимизацией управления технологическими процессами. Что, безусловно, важно и необходимо. Вместе с тем, априори можно утверждать: при возникновении аварийных ситуаций; непредусмотренных регламентом остановках и пусках оборудования, связанных с выходом из строя исчерпавших номинальные ресурсы узлов и деталей «носителя технологического процесса», — оборудования, результаты функционирования предприятия будут далеко не оптимальными. Эти обстоятельства должны учитываться при создании и внедрении современных интегрированных АСУ.

Отметим, что для решения конкретных задач производства, например, связанных с ТОиР, в первую очередь необходима структуризация технологического оборудования на блоки, узлы и детали. Как правило, каждый узел, каждый элемент имеют свои номинальные ресурсы работы. Например, если оборудование состоит из сотен или нескольких тысяч элементов и узлов, то налицо наличие равно такого же числа номинальных сроков службы. Для решения задачи автоматизированного учета наработки элементов и узлов оборудования необходимо, в первую очередь, воссоздать в памяти ЭВМ взаимосвязанную структуру узлов и деталей соответствующего технологического оборудования.

Отсюда ясно, что главные факторы сложности данного уровня производственных модулей — это, прежде всего, структурная сложность, недостаточное развитие методов математического моделирования технологического оборудования, отсутствие удобных с точки зрения использования ЭВМ моделей, позволяющих учитывать изменения в реальном масштабе времени наработок и остаточных ресурсов узлов и деталей и реализации автоматического мониторинга состояния оборудования, оптимального планирования и ремонтов оборудования.

Анализ научных проблем второго уровня производственных модулей — уровня дискретных систем автоматического управления (ДСАУ) показывает, что многими учеными заложена мощная основа для расчета и проектирования различных классов дискретных систем управления на базе целого спектра методов и моделей, каждый из которых охватывает определенные классы дискретных систем со свойственными данному классу факторами сложности. Вместе с тем, современный этап развития характеризуется переходом к управлению структурно-сложными многомерными объектами. Данное обстоятельство является причиной возникновения принципиальных трудностей на пути использования классических методов, основанных на Z-преобразовании, разностных уравнениях, частотных методах, методе пространства параметров состояния.

Читайте также:  Намоточно перемоточные машины в Москве

Несмотря на всю важность задач анализа, синтеза и проектирования структурно- и параметрически сложных дискретных систем автоматического управления, адекватная этим задачам и системам проблема создания математических структурных методов остается еще не до конца решенной.

Таким образом, среди факторов сложности второго уровня производственных модулей — уровня дискретных систем автоматического управления — в первую очередь, необходимо выделить такие как, многомерность, разнотемповый характер дискретной информации, наличие запаздываний, логических и динамических переменных и условий, нелинейность, нестационарность и другие.

В данной статье для моделирования сложных единиц технологического оборудования, комплексов технологического оборудования и технологических сетей предложено использование метода динамических графовых моделей. Данный метод отвечает принципу универсальности в том плане, что позволяет решать задачи описания, анализа и синтеза, возникающие на различных уровнях интегрированных систем, на основе единого теоретико-множественного подхода и динамических графов, позволяющих учитывать различные аспекты моделируемых объектов. Метод динамических графов органически сочетает в себе результаты теории классических динамических систем управления с обратной связью, теоретико-множественных и имитационных подходов, используемых при исследовании сложных многоуровневых систем, т. е. представляет собой определенный класс гибридных моделей.

Динамические графы наиболее полно отвечают требованиям компьютерного моделирования технологического оборудования и систем управления, позволяют решать задачи формализованного структурного анализа и синтеза систем, при этом дают возможность привнести в их описание такие важные понятия, принятые в теории систем с обратной связью, как динамичность, дискретность, изменяемость структур и параметров, нелинейность, запаздывание и другие.

  1. Кадыров А. А. Моделирование информационных сетей и производственных модулей интегрированных АСУ на базе динамических графов. Ташкент, «IQTISOD-MOLIYA», 2009, С. 188.
  2. Чаадаев В., Бронникова Т. Построение интегрированной системы управления компанией: управление финансами и ERP-система // RM MAGAZINE. 2003. № 4/5.
  3. Кадыров А. А. Структурные методы моделирования и исследования производственных модулей интегрированных систем. Т.: IQTISOD-MOLIYA, 2008. 118 с.

Источник

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы. » Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 1).

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t — время, g = 10 м/с 2 — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h и радиус r жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r, при которых производная

обращается в ноль: Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r. Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h = 2r. Подставляя в выражение для r и h заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго — 70 т на заводы, причем на первый — 40 т, а на второй — 80 т.

Обозначим через aij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x1 и x2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x3 и x4 — со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x1, x2, x3 и x4, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

а x4 не может быть определено однозначно. Так как xi і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30 Ј x4 Ј 70. Подставляя выражение для x1, x2, x3 в формулу для f, получим

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x4, то есть при x4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x1 = 40, x2 = 10, x3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) — исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) — количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N'(t) пропорциональна N(t), то есть N'(t)=– l N(t), l >0 — константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e – l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

Читайте также:  Июнь 2021 В наличии на складе TOR Ultra 1500 Вт

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A1, надо посетить города A2, A3 и A4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог bij между городами Ai и Aj (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф — математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки — числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V1, V2, . Vk, V1 такая, что вершины V1, . Vk — различны, а любая пара вершин Vi, Vi+1 (i = 1, . k – 1) и пара V1, Vk соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A1:

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L1 = 160, L2 = 180, L3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины — это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 . ), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a, b » – 4a, b » 28 – 5a, b » 69 – 6a.

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: yр(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения yэ(7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей — математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A1, . Ak образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A1, . Ak образуют полную группу несовместимых событий, то P(A1)+. +P(Ak)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события Ai =, i = 1, . 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(Ai) = (i = 1, . 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A)•P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть Ai — событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A1A2A3 — событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.

Источник

Математическое моделирование в машиностроении на основе линейного программирования

Производство в России Программы Машиностроение и металлообработка, станкостроение Математика Программы и мероприятия (общая рубрика) Основы программирования

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Уфимский государственный авиационный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В МАШИНОСТРОЕНИИ

НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

по выполнению лабораторной работы

по дисциплинам: «Системный анализ и математическое моделирование

процессов в машиностроении», «Математическое моделирование процессов

в машиностроении», «Системный анализ и математическое моделирование

Методические указания по выполнению лабораторной работы «Математическое моделирование в машиностроении на основе линейного программирования» по дисциплинам «Системный анализ и математическое моделирование процессов в машиностроении», «Математическое моделирование процессов в машиностроении», «Системный анализ и математическое моделирование в стандартизации» / Сост.: ; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа, 2008. – 13 с.

Данные методические указания по выполнению лабораторной работы призваны помочь студентам при изучении математического моделирования на основе теории математического программирования. Рассмотрены типовые постановки задач машиностроения (технические, технико-экономические, организационные, технологические), предусматривающие оптимизацию, которые могут быть решены с использованием линейного программирования. В лабораторной работе студентам необходимо решить задачи распределения ресурсов, рационального раскроя, распределения изделий по цехам предприятия.

Предназначено для студентов направления 657– «Конструкторско-технологическое обеспечение автоматизированных производств», специальность 120«Технология машиностроения»; направления 651«Машиностроительные технологии и оборудование», специальность 120«Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов»; направления 653– «Стандартизация, сертификация и метрология», специальность 072–«Стандартизация и сертификация»; бакалавров по направлению 552– «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств»

Табл.6 Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: – вед. науч. сотр. Ин-та математики

с Вычисл. центром УНЦ РАН;

– к. т.н., доцент каф. ТМ УГАТУ

авиационный технический университет, 2008

Методы математического программирования представляют собой класс моделей, применяемых для формализации задач планирования, предусматривающих распределение ограниченного количества ресурсов разных видов. Подобного рода задачи решаются в различных отраслях деятельности: в экономике, в промышленности, при разработке проектов, составлении расписаний, планировании военных операций и т. п.

Употребление слова «программирование» связано с тем, что при решении задач находят такой набор переменных, который является программой (планом) при выполнении поставленной задачи. Методы линейного программирования применяются в случае, когда математическая модель изучаемого процесса может быть представлена в виде совокупности линейных отношений. Эти линейные отношения связывают некоторые параметры, определяющие ход процесса, и состоят из системы ограничений и целевой функции.

Методы решения такого типа задач позволяют найти оптимальные варианты управления, процессы, структуры, т. е. выбрать лучшее решение из всех возможных. Такие задачи относятся к задачам оптимизации.

Условно типы задач из области машиностроения можно разделить на технико-экономические, технические, технологические, проектно-организационные, транспортные. Косвенным образом соотносятся с машиностроением и другие типы задач, которые могут быть решены методом линейного программирования: задачи оптимального планирования, распределения различных ресурсов, управления запасами, календарное планировании, межотраслевого баланса и т. п.

В рассматриваемой лабораторной работе требуется составить математическую модель задачи машиностроения, основанной на линейном программировании. Требуется составить целевую функцию, систему ограничений и решить задачу, пользуясь MS EXCEL.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить математическое программирование, выполнив конкретное задание по определению программ выпуска изделий, по расцеховке изделий и по рациональному раскрою листового материала. Научиться выполнять решения задач математического программирования в среде MS Excel

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2.1.Технико-экономическая задача определения программ выпуска нескольких видов продукции при ограниченности сырья

Рассмотрим постановку этой задачи на конкретном примере.

Для изготовления двух видов продукции используют три вида сырья: Запасы сырья, затрачиваемые на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции приведены в табл. 2.1. Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при её реализации получить максимальную прибыль.

Кол-во единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции

Источник